그래프로 보는 이차부등식

이차부등식의 목표

이차부등식이라고 해서 뭔가 헷갈리면 안된다. 이차방정식의 우리의 목표는 해를 구하는 것 이었다. 이차부등식도 마찬가지다. 목표는 해의 범위를 구하는 것 이다.

x가 절대값인 부등식

| x + 2 | < 5 이런게 있다. 뭐하냐? 절대값 풀어라.

x + 2 < 5 , x + 2 > -5 -> -5 < x + 2 < 5 이다. 간략히 해서 -7 < x < 3 이다. 진짜로 그럴까?

진짜로 우리가 원하던 x, 그러니까 x+2해서 절대값 나오는게 5보다 작은 x가 -7보다 크고 3보다 작은 것 일까? 그래프 그려보자.

어랍쇼 진짜네. 잘 보면 x = 7에서 높이 5되고, x = 3에서도 높이 5된다. 그 이전까지는 모두 5보다 작고.

원래 식에서 보면 ... -5 < A < 5 사이에 있다.

 

 

 

 

그렇다면 | x - 2 | > 3 은?

풀어보자. x - 2 > 3, x - 2 < -3 -> 3 < x-2 < -3 어라? 이 식이 말이 안된다. 그래프는 위 사진과 같은데 .. 

이럴땐 대입해보자. x-2 > 3 일때 x는 아마 6쯤 될 것 이다. 6이면 높이 4 된다. 정답이다.

반대로 x-2 < -3 일때 x는 -2 정도 된다. 어라. 이건 -3 보다 크다. 

따라서 정답은, 그러니까 저 부등식의 정답은 x-2>3 -> x>5 다.

여기서 알 수 있는 점은, | x - k | < a 일때는 답이 -a와 a에 둘러 싸여있다는 것 이고, a 보다 클때는 둘 중 하나 인 것이다.

이차부등식과 판별식

위 목표에서 이차부등식은 여러가지 상황이 존재한다.

보통 이차방정식을 그래프로 그리고 x축과의 접점들을 근이라고 하는데, 이 근들의 존재 여부, 즉 그래프의 위치는 판별식(D)로 알 수 있었다.

이차부등식이 f(x) > 0 이런 식일때 우리는 정확히 x가 어떤 범위를 가지는지 알아내는 것이 목표다. 이때 f(x)의 그래프를 그려보았을때 그것이 전부 x축 아래일 수 있는 것 이다. 그러면 해가 없다. 또는 x축 위라면 모든 x가 이차부등식의 해, 즉 범위일 것 이다. 이런 여러 상황들을 그림으로 정리해보려고 한다.

> 와 >= 는 그저 근을 포함하지 않느냐 그러느냐의 차이니까 > , < 만 다루겠다 >.< ㅎㅎ

f(x) = ax^2 ... 에서 a가 양수인 경우

D = 0 (중근), D < 0 (허근), D > 0 (근 두개)

Situation 1. f(x) > 0

목표 : f(x)가 0보다 크게 만드는 x들의 범위를 구하자

D = 0 중근 x=알파를 제외한 모든 x가 답이다. 즉, a != x

D < 0 애초에 이차방정식의 해 가 허근이다. 어쨌거나 모든 x에 의한 값이 0보다 크므로 x.

D > 0 접하는 두 점이 있다. 이 두 점부터는 부등식을 만족하지 못하게 된다. 즉, a > x 또는 b < x 다.

 

Situation 2. f(x) < 0

목표 : f(x)가 0보다 작게 만드는 x들의 범위를 구하자

D = 0 중근 만약 0도 포함이라면 알파가 답이겠지만서도 아니므로 답은 없다.

D < 0 허근이다. x축 밑으로 내려올 일말의 가능성이 없다. 답 없다.

D > 0 접하는 두 점이 있다. 이 두 점 사이만 0보다 작다. 곧, a < x < b 다.

f(x) = ax^2 ... 에서 a가 음수인 경우

D = 0 (중근), D < 0 (허근), D > 0 (근 두개)

Situation 1. f(x) > 0

목표 : f(x)가 0보다 크게 만드는 x들의 범위를 구하자

D = 0 중근이다. 절대 안된다. 만약 크거나 같다의 등호라면 알파가 답이다.

D < 0 허근이다. 올라갈 일말의 가능성도 없다. 답없다.

D > 0 알파와 베타 사이 구간만 된다. 즉 a < x < b

 

Situation 2. f(x) < 0

목표 : f(x)가 0보다 작게 만드는 x들의 범위를 구하자

D = 0 중근이다. 만약 0도 포함이라면 알파가 답이겠지만서도 아니므로 답은 없다.

D < 0 허근이다. 무조건 된다.

D > 0 알파와 베타 사이 구간만 된다. 즉 x < a 또는 x > b

문제 풀이

  이런 것들의 문제 풀이 핵심은 그래프 그리기다. 그렇다고해서 복잡하지는 않다. 부등식이 한개 있을때, 위에서 보았던 것 처럼 그래프를 그리거나 바로 해를 구할 수 있을 것 이다.

  연립 이차부등식 또한 이와 같은 방법으로 풀 수 있다. 첫번째로, 두 식을 인수분해하여 좌항과 우항의 관계가 0보다 크거나 작다의 expression으로 만들어라. 그런 다음, 좌항의 그래프를 그려보라. 총 2개의 그래프를 그릴 수 있을 것 이다. 인수분해 했을때 구한, 대입시 0이 되어버리는 x들의 좌표가 곧 x축과의 접점인 것은 자명하므로 이것들이 범위를 구성하는데에 주축이 되는 것 또한 마찬가지다. 이렇게 범위를 구할 수 있다. 어떤 방식으로냐, 1 > x 또는 x < 3 의 범위가 한개의 식에서 나오고, 1 < x < 5 의 범위가 또 다른 식에서 나온다고 치면, 당연하게도 논리적으로 맞아떨어지는 식을 찾아야 한다. 일단 x가 1보다 작아야 한댔는데, 다른 식에서 보면 1보다 크다고 한다. 그럼 이건 뭐냐? 그냥 또 다른 범위 인 것 이다. 그래프를 그려보면 다 나온다. 어쨌든 그럼 x가 3보다 작다면? x가 5보다 작다는 말과 병합된다. 그러니까, x가 3보다 작아야 한다. x < 5 는 '연립된 부등식'에서 해가 되지 않는다. x < 5를 x < 3으로 고쳐본다. 그리고 x < 1 를 대체할 것이 있는지 찾아본다. 없다. 그럼 답은 1 > x 또는 1 < x < 3 이다.